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演習1.5 [PRML]

問題文

{ \displaystyle 
var[f] = \mathbb{E}\left[\left(f(x) - \mathbb{E}\left[f(x) \right]\right)^2\right] \tag{1.38}
}
{ \displaystyle 
var[f] = \mathbb{E}\left[f(x)^2\right] - \mathbb{E}\left[f(x) \right]^2 \tag{1.39}
}

(1.38)の定義を使って var[f(x)] が(1.39)を満たすことを示せ.

解釈

確率論の基礎問題ですね。

期待値の線形性を用いた、分散の式変形です。
パパッと行きましょう。

解いてみる

式(1.38)の中身を展開して、

{ \displaystyle 
var[f] = \mathbb{E}\left[f(x)^2 - 2 f(x)\mathbb{E}[f(x)] + \mathbb{E}[f(x)]^2) \right] \tag{1.5.1}
}

期待値の線形性より、

{ \displaystyle 
var[f] = \mathbb{E}\left[f(x)^2\right] - 2 \mathbb{E}\left[f(x)\mathbb{E}\left[f(x)\right]\right] + \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[f(x)\right]^2 \right] \tag{1.5.2}
}

E[f(x)] は定数より、

{ \displaystyle 
\begin{eqnarray}
var[f]
& = & \mathbb{E}\left[f(x)^2\right] - 2 \mathbb{E}\left[f(x)\right]\mathbb{E}\left[f(x)\right] + \mathbb{E}\left[f(x)\right]^2 \\
& = & \mathbb{E}\left[f(x)^2\right] - 2 \mathbb{E}\left[f(x)\right]^2 + \mathbb{E}\left[f(x)\right]^2 \\
& = & \mathbb{E}\left[f(x)^2\right] - \mathbb{E}\left[f(x)\right]^2 \tag{1.5.3}
\end{eqnarray}
}

よって(1.39)が示された。

まとめ

ということで、ヌルゲーでしたね。

……これで間違ってたら恥ずかしいな。

PRML 演習まとめ

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